こんにちは！マルチーズ先生です。かなり難易度が高いです。初見で解くのはかなりキツイかもです。。。 【問題】を以上の素数とする。また、を実数とする。 とをの式として表せ。 のとき、となるような正の整数が存在するか否かを理由をつけて判定せよ。 【…

こんにちは！マルチーズ先生です。京大を目指す方は落とせない問題ですね。 【問題】次の関数の最大値と最小値を求めよ。 ただし、は自然対数の底であり、その値はである。 【ヒント】 まず、同じ部分の取りうる範囲を求めてみましょう。 解答はyoutubeを見…

こんにちは！マルチーズ先生です。この確率問題は落とせないですね。 【問題】を自然数とする。個のさいころを回投げ、出た目を順にとし、個の数の積をとする。 がで割り切れる確率を求めよ。 がで割り切れる確率を求めよ。 【ヒント】 べん図を用いて考える…

こんにちは！マルチーズ先生です。やさしい問題です。どれだけ効率的に解けるか挑戦してみてください！ 【問題】整式を整式でわったときの余りを求めよ。 【ヒント】 やさしい問題なので、どれだけ効率的に解けるかに挑戦してください！ 解答はyoutubeを見て…

こんにちは！マルチーズ先生です。基本的な学力があれば必ず解けます。 【問題】とおく。ただし、は自然対数の底とする。このとき、次の問に答えよ。 の増減、凹凸、漸近線を調べ、グラフをかけ。 の逆関数を求めよ。 を求めよ。 【ヒント】 基礎学力があれ…

こんにちは！マルチーズ先生です。瞬殺で解きます！ 【問題】放物線の上を動く点、があって、この放物線と線分が囲む部分の面積が常にであるとき、の中点が描く図形の方程式を求めよ。 【ヒント】 放物線と直線が囲む面積の公式を用いれば、瞬殺で解けますよ…

こんにちは！マルチーズ先生です。昔の受験生は、こんなに難しい問題を解いていたのでしょうか。。。 【問題】つの条件 (i) または (ii) を満たす任意の整数から得られる実数全体の集合をとする。より大きいの要素のうち最小のものをとする。 を求めよ。 整…

こんにちは！マルチーズ先生です。方程式を解く基本問題ですね。 【問題】定数は実数であるとする。関数とのグラフの共有点はいくつあるか。の値によって分類せよ。 【ヒント】 判別式を用いて、解の個数を求めていきます。共通解がある場合に注意しましょう…

こんにちは！マルチーズ先生です。直観で答えは分かってしまいますが、それを証明することに多少の手間がかかります。 【問題】を正の実数とする。座標平面上の点、、をとり、を考える。の値が変化するとき、角の最大値を求めよ。 【ヒント】 三角関数を用い…

こんにちは！マルチーズ先生です。簡単です！ 【問題】平面において、点、に対し、点は次の条件 角かつ点の座標は正 次の各問に答えよ。 △の外心の座標を求めよ。 点が条件を満たしながら動くとき、△の垂心の軌跡を求めよ。 【ヒント】 簡単なのでヒント無し…

こんにちは！マルチーズ先生です。東大の確率問題でも、丁寧に場合分けして考えれば解けますよ！ 【問題】黒玉個、赤玉個、白玉個が入っている袋から玉を個ずつ取り出し、取り出した玉を順に横一列に個すべて並べる。ただし、袋から個々の玉が取り出される確…

こんにちは！マルチーズ先生です。積分と極限の本質が問われた良問だと思います。挑戦してみてください！ 【問題】 正の整数に対し、とおく。次の不等式が成り立つことを示せ。 正の整数に対し、とおく。極限を求めよ。 【ヒント】 区分求積法とはさみうちの…

こんにちは！マルチーズ先生です。積分で体積を求める問題です。セオリー通りのアプローチで解いてみましょう！ 【問題】を正の実数とする。空間において、、を満たす点全体からなる立体の体積を求めよ。 【ヒント】 セオリー通り、積分して体積を求めていき…

こんにちは！マルチーズ先生です。ややこしい図形ですが、増減表を作って、丁寧にグラフを描いてみましょう！ 【問題】座標平面において、媒介変数を用いて、、 と表される曲線が囲む面積を求めよ。 【ヒント】 増減表を作成し、丁寧にグラフを描いてみまし…

こんにちは！マルチーズ先生です。東大数学の中で、数十年に1度の難問と言われている問題です。限られた時間の中では完答不能レベルですが、挑戦してみてください！ 【問題】 を実数とし、とする。を変数とする次関数のにおける最大値と最小値を求めよ。 次…

こんにちは！マルチーズ先生です。積分で体積を求める基本問題です。東大を目指す人は落とせない問題ですよ！ 【問題】座標平面上でつの不等式、によって定まる領域をとする。を軸のまわりに回転してできる立体の体積をとし、軸のまわりに回転してできる立体…

こんにちは！マルチーズ先生です。東大入試頻出の体積を求める問題です。断面積を求めて、それを積分して体積を求める王道パターンですので頑張って解いてみてください！ 【問題】座標空間内を、長さの線分が次の条件、を満たしながら動く。 点は平面上にあ…

こんにちは！マルチーズ先生です。テイラー展開を知っていれば楽勝ですが、高校生の場合は、指数関数とその接線の関係を発想できるかが鍵になると思います。挑戦してみてください！ 【問題】であることを示せ。ただし、は円周率、は自然対数の底である。 【…

こんにちは！マルチーズ先生です。積分は面積をイメージすると解きやすいですよ、良問です！ 【問題】を定義域とする関数について、以下の問に答えよ。 関数 は、実数全体を定義域とする逆関数をもつことを示せ。すなわち、任意の実数に対して、となるがただ…

こんにちは！マルチーズ先生です。東大によくある誘導問題です。素直な心で取り組めば解けますよ！ 【問題】以下の問に答えよ。 を満たす実数に対し、次を示せ。 を利用して、次を示せ。 ただし、はの自然対数とする。 【ヒント】 グラフの面積で考えてみま…

こんにちは！マルチーズ先生です。誘導に解けばそれほど難しくないですよ！ 【問題】 すべての自然数に対して、次の不等式を示せ。 であるようなすべての自然数とに対して、次の不等式を示せ。 【ヒント】 グラフの面積で考えてみましょう。 の結果を元に、…

こんにちは！マルチーズ先生です。うまく問題の誘導に乗って解いていきましょう！ 【問題】を正の整数とする。以下の問に答えよ。 関数を次のように定める。のとき のとき を連続な関数とし、を実数とする。を満たすに対してが成り立つとき、次の不等式を示…

こんにちは！マルチーズ先生です。普通に計算しても解けるのですが、少し工夫してみました。少し計算が楽になっているかも？！ 【問題】次の定積分を求めよ。 【ヒント】 似た形がある項について、微分と積分の関係を調べてみましょう。 解答はyoutubeを見て…

こんにちは！マルチーズ先生です。方針を立てるの簡単ですが、計算がとても大変な問題です。なるべく計算が楽になるように解きましたので、参考にしてください！ 【問題】はでない実数とする。関数の極大値と極小値の差が最小となるの値を求めよ。 【ヒント…

こんにちは！マルチーズ先生です。(1)と(2)が(3)の誘導になってます。うまく証明してみてください！ 【問題】関数 を次のように定める。、、 以下同様に、に対して関数が定まったならば、関数をで定める。このとき、以下の問に答えよ。 を実数とする。を満た…

こんにちは！マルチーズ先生です。東大頻出の問題です。2回以上微分して、増減表を作成する。これは落とせない問題です！ 【問題】 (1) 実数が、を満たすとき、次の不等式を示せ。 (2) 次の不等式を示せ。 【ヒント】 (1) 増減表を作成しましょう。 (2) (1)…

こんにちは！マルチーズ先生です。増減表を作成して、共有点が3つの条件を求める、スタンダードな問題です。このような問題は、確実に解けるようにしたいですね！ 【問題】を実数とし、で定義された関数、を次のように定める。 このとき、のグラフがにおいて…

こんにちは！マルチーズ先生です。計算が大変、微分を繰り返す、東大入試によく出る問題です。この機会にマスターしてしまいましょう！ 【問題】を自然対数の底、すなわちとする。すべての正の実数に対し、次の不等式が成り立つことを示せ。 【ヒント】 ・左…

こんにちは！マルチーズ先生です。東大数学は、基本的な要素の組み合わせで解けます。今回の問題は、その中でも最も基礎的なものの1つです。Simple is best! 【問題】関数 の増減表をつくり、、のときの極限を調べよ。 【ヒント】 この問題はヒント無しで解…

こんにちは！マルチーズ先生です。定石通り、z=kの切り口で考えますが、kの取りうる範囲にご注意下さい。「神解答」は言い過ぎかもしれません。 【問題】を正の整数とする。 を満たす空間の点で、がすべて整数であるものの個数をとおく。極限を求めよ。 【ヒ…