マルチーズ先生のやさしい東大数学

おもしろい数学問題を紹介していきます。

【東京大学2015年】積分の極限

大学入試問題

こんにちは！マルチーズ先生です。うまく問題の誘導に乗って解いていきましょう！

【問題】 $n$ を正の整数とする。以下の問に答えよ。

$(1)$ 　関数 $g(x)$ を次のように定める。 $g(x)=\dfrac{\cos{\left(πx\right)}+1}{2}$ $(|x|≦1$ のとき $)$ 　 $g(x)=0$ $(|x|＞1$ のとき $)$ 　 $f(x)$ を連続な関数とし、 $p, q$ を実数とする。 $|x|≦\dfrac{1}{n}$ を満たす $x$ に対して $p≦f(x)≦q$ が成り立つとき、次の不等式を示せ。　 $p≦n\displaystyle\int_{-1}^{1}g(nx)f(x)dx≦q$

$(2)$ 　関数 $h(x)$ を次のように定める。 $h(x)=-\dfrac{π}{2}\sin{\left(πx\right)}$ $(|x|≦1$ のとき $)$ 　 $h(x)=0$ $(|x|＞1$ のとき $)$ 　このとき、次の極限を求めよ。　 $\displaystyle\lim_{n→∞}n^{2}\int_{-1}^{1}h(nx)\log{\left(1+e^{x+1}\right)}dx$

【ヒント】

$(1)$ 　積分範囲の中で、被積分関数が $0$ になる範囲を注意しましょう。

$(2)$ 　 $(1)$ の結果をうまく利用しましょう。

解答はyoutubeを見てね！

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