マルチーズ先生のやさしい東大数学

おもしろい数学問題を紹介していきます。

【破壊力最大級】 ゼータ関数を含む無限和

こんにちは!マルチーズ先生です。自力での解答はほぼ無理だと思います。。。

【問題】以下の無限和を求めよ。\displaystyle\sum_{n=1}^{∞}ζ\left(2n\right)x^{2n} \left(|x|<1\right)

【ヒント】

三角関数の無限乗積展開を用います。

 

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【頭の体操】 単なる計算問題です

こんにちは!マルチーズ先生です。軽~い気持ちで計算していただければ。

【問題】以下の方程式を解け。 \dfrac{1}{x^{\dfrac{1}{x^{x-1}}}}={2^{2}}^{3}

【ヒント】

単なる計算問題です。

 

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【1500年前の問題に挑戦!】 孫子算経から出題 中国余剰定理の証明も解説

こんにちは!マルチーズ先生です。昔の人も数学やってたんですね!

【問題】今物が有るが、その数は分からない。三ずつにして物を数えると、ニ余る。五で割ると、三余る、七で割ると、ニ余る、物はいくつかるか。ただし、物の数は百を超えないものとする。

 

【ヒント】

modを使って考えてみましょう。

 

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工夫して積分してください

こんにちは!マルチーズ先生です。〇〇積分を知っていれば瞬殺ですが、動画では△△を使って解きました。

【問題】以下の定積分を計算せよ。 \displaystyle\int_{0}^{\dfrac{π}{2}}\cos^{4}{x}\sin^{2}{x}dx

【ヒント】

ウォリス積分を知っていれば瞬殺です。動画ではKingPropertyを用いました。

 

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【数学オリンピック 2001年】 イェンゼンの不等式でエレガントに解く!

こんにちは!マルチーズ先生です。色んな解法があると思いますが、イェンゼンの不等式を用いる方法で解きました!

【問題】以下の不等式を証明せよ。 \dfrac{a}{\sqrt{a^{2}+8bc}}+\dfrac{b}{\sqrt{b^{2}+8ca}}+\dfrac{c}{\sqrt{c^{2}+8ab}}≧1 ただし、a, b, cは正の実数とする。

【ヒント】

色んな解き方がありますが、イェンゼンの不等式を使って解いてみました!

 

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暗算レベルの計算問題

こんにちは!マルチーズ先生です。頻出パターンの組み合わせなので、暗算でできる!?

【問題】以下の式を計算せよ。 \displaystyle\lim_{n→∞}\{n\prod_{p=1}^{n}\sum_{k=1}^{p}\dfrac{1}{k\left(k+1\right)}\}^{n}

【ヒント】

暗算でもできるかも!?

 

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【数学オリンピック シンガポール2013年】 うまい解き方があるはず!

こんにちは!マルチーズ先生です。まともには計算できませんが、ある方法を使うと簡単に計算できます!

【問題】以下の式を計算せよ。 \displaystyle[\left(\dfrac{3+\sqrt{17}}{2}\right)^{6}] [x]xを超えない最大の整数

【ヒント】

\sqrt{17}を消すように工夫してみましょう。

 

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