マルチーズ先生のやさしい東大数学

おもしろい数学問題を紹介していきます。

【東京大学2011年】伝説の難問

大学入試問題

こんにちは！マルチーズ先生です。東大数学の中で、数十年に1度の難問と言われている問題です。限られた時間の中では完答不能レベルですが、挑戦してみてください！

【問題】

$\left(1)\right)$ 　 $x, y$ を実数とし、 $x＞0$ とする。 $t$ を変数とする $2$ 次関数 $f\left(t\right)=xt^{2}+yt$ の $0≦t≦1$ における最大値と最小値を求めよ。

$\left(2\right)$ 　次の条件を満たす点 $\left(x, y\right)$ 全体からなる座標平面内の領域を $S$ とする。 $x＞0$ かつ、実数 $z$ で $0≦t≦1$ の範囲のすべての実数 $t$ に対して、 $0≦xt^{2}+yt+z≦1$ を満たすようなものが存在する。 $S$ の概形を求めよ。

$\left(3\right)$ 　次の条件を満たす点 $\left(x, y, z\right)$ 全体からなる座標空間内の領域を $V$ とする。 $0≦x≦1$ かつ、 $0≦t≦1$ の範囲のすべての実数 $t$ に対して、 $0≦xt^{2}+yt+z≦1$ が成り立つ。 $V$ の体積を求めよ。

【ヒント】

$\left(1\right)$ 　関数を平方完成して、場合分けして考えましょう。

$\left(2\right)$ 　 $\left(1\right)$ の結果を利用し、最大値と最小値の差に着目して考えてみましょう。

$\left(3\right)$ 　 $x=k$ のときの断面積を求め、それを積分して体積を求めてみましょう。

解答はyouutbeを見てね！

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