マルチーズ先生のやさしい東大数学

おもしろい数学問題を紹介していきます。

【東京大学2006年】逆関数の積分

大学入試問題

こんにちは！マルチーズ先生です。積分は面積をイメージすると解きやすいですよ、良問です！

【問題】 $x＞0$ を定義域とする関数 $f\left(x\right)=\dfrac{12\left(e^{3x}-3e^{x}\right)}{e^{2x}-1}$ について、以下の問に答えよ。

$\left(1\right)$ 　関数 $y=f\left(x\right)$ $\left(x＞0\right)$ は、実数全体を定義域とする逆関数をもつことを示せ。すなわち、任意の実数 $a$ に対して、 $f\left(x\right)=a$ となる $x＞0$ がただ $1$ つ存在することを示せ。

$\left(2\right)$ 　前問 $\left(1\right)$ で定められた逆関数を $y=g\left(x\right)$ $\left(-∞＜x＜∞\right)$ とする。このとき、定積分 $\displaystyle\int_{8}^{27}g\left(x\right)dx$ を求めよ。

【ヒント】

$\left(1\right)$ 　 $f\left(x\right)$ が単調関数で、値域が実数全体であることを示せばよさそうです。

$\left(2\right)$ 　グラフの面積で考えてみましょう。 $g\left(x\right)$ は、 $f\left(x\right)$ の逆関数ということは、グラフのどの部分の面積になるでしょうか。

解答はyoutubeを見てね！

ランキング参加中

数学・科学・工学

ランキング参加中