マルチーズ先生のやさしい東大数学

おもしろい数学問題を紹介していきます。

【東京大学2010年】複雑な不等式の証明

大学入試問題

こんにちは！マルチーズ先生です。誘導に解けばそれほど難しくないですよ！

【問題】

$(1)$ 　すべての自然数 $k$ に対して、次の不等式を示せ。　 $\dfrac{1}{2\left(k+1\right)}＜\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{1-x}{k+x}dx＜\dfrac{1}{2k}$

$(2)$ 　 $m＞n$ であるようなすべての自然数 $m$ と $n$ に対して、次の不等式を示せ。　 $\dfrac{m-n}{2\left(m+1\right)\left(n+1\right)}＜\log{\dfrac{m}{n}}-\displaystyle\sum_{k=n+1}^{m}\dfrac{1}{k}＜\dfrac{m-n}{2mn}$

【ヒント】

$\left(1\right)$ 　グラフの面積で考えてみましょう。

$\left(2\right)$ 　 $\left(1\right)$ の結果を元に、問題の式に一致するように変形してみましょう。

解答はyoutubeを見てね！

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