マルチーズ先生のやさしい東大数学

おもしろい数学問題を紹介していきます。

【東京大学2004年】関数列の解の個数の証明

大学入試問題

こんにちは！マルチーズ先生です。(1)と(2)が(3)の誘導になってます。うまく証明してみてください！

【問題】関数 $f_{n}\left(x\right)$ 　 $\left(n=1, 2, 3…\right)$ を次のように定める。 $f_{1}\left(x\right)=x^{3}-3x$ 、 $f_{2}\left(x\right)=\{f_{1}\left(x\right)\}^{3}-3f_{1}\left(x\right)$ 、 $f_{3}\left(x\right)=\{f_{2}\left(x\right)\}^{3}-3f_{2}\left(x\right)$ 　以下同様に、 $n≧3$ に対して関数 $f_{n}\left(x\right)$ が定まったならば、関数 $f_{n+1}\left(x\right)$ を $\{f_{n}\left(x\right)\}^{3}-3f_{n}\left(x\right)$ で定める。このとき、以下の問に答えよ。

$\left(1\right)$ 　 $a$ を実数とする。 $f_{1}\left(x\right)=a$ を満たす実数 $x$ の個数を求めよ。

$\left(2\right)$ 　 $a$ を実数とする。 $f_{2}\left(x\right)=a$ を満たす実数 $x$ の個数を求めよ。

$\left(3\right)$ 　 $n$ を $3$ 以上の自然数とする。 $f_{n}\left(x\right)=0$ を満たす実数 $x$ の個数は $3^{n}$ であることを示せ。

【ヒント】

(1)と(2)を利用して、(3)を数学的帰納法で示してみましょう。

解答はyoutubeを見てね！

ランキング参加中

数学・科学・工学

ランキング参加中