マルチーズ先生のやさしい東大数学

おもしろい数学問題を紹介していきます。

【東京工業大学1985年】ペル方程式の整数解の集合の構造

大学入試問題

こんにちは！マルチーズ先生です。昔の受験生は、こんなに難しい問題を解いていたのでしょうか。。。

【問題】 $2$ つの条件　(i)　 $a^{2}-2b^{2}=+1$ または $a^{2}-2b^{2}=-1$ 　(ii)　 $a+\sqrt{2}b＞0$ 　を満たす任意の整数 $a , b$ から得られる実数 $g=a+\sqrt{2}b$ 全体の集合を $G$ とする。 $1$ より大きい $G$ の要素のうち最小のものを $u$ とする。

$\left(1\right)$ 　 $u$ を求めよ。

$\left(2\right)$ 　整数 $u$ と $G$ の要素 $g$ に対し、 $gu^{n}$ は $G$ の要素であることを示せ。

$\left(3\right$ 　 $G$ の任意の要素 $g$ は適当な整数 $m$ によって、 $g=u^{m}$ と書かれることを示せ。

【ヒント】

ペル方程式の解の構造定理につながる問題です。

解答はyoutubeを見てね！

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