マルチーズ先生のやさしい東大数学

おもしろい数学問題を紹介していきます。

【東京大学2023年】積分と極限の本質が問われた良問

大学入試問題

こんにちは！マルチーズ先生です。積分と極限の本質が問われた良問だと思います。挑戦してみてください！

【問題】

$\left(1\right)$ 　正の整数 $k$ に対し、 $A_{k}=\displaystyle\int_{\sqrt{kπ}}^{\sqrt{\left(k+1\right)π}}\left|\sin{\left(x^{2}\right)}\right|dx$ とおく。次の不等式が成り立つことを示せ。　 $\dfrac{1}{\sqrt{\left(k+1\right)π}}≦A_{k}≦\dfrac{1}{\sqrt{kπ}}$

$\left(2\right)$ 　正の整数 $n$ に対し、 $B_{n}=\dfrac{1}{\sqrt{n}}\displaystyle\int_{\sqrt{nπ}}^{\sqrt{2nπ}}\left|\sin{\left(x^{2}\right)}\right|dx$ とおく。極限 $\displaystyle\lim_{n→∞}B_{n}$ を求めよ。

【ヒント】

区分求積法とはさみうちの原理を利用しましょう。

解答はyoutubeを見てね！

ランキング参加中

数学・科学・工学

ランキング参加中