こんにちは！マルチーズ先生です。東大数学は、基本的な要素の組み合わせで解けます。今回の問題は、その中でも最も基礎的なものの1つです。Simple is best! 【問題】関数 の増減表をつくり、、のときの極限を調べよ。 【ヒント】 この問題はヒント無しで解…

こんにちは！マルチーズ先生です。定石通り、z=kの切り口で考えますが、kの取りうる範囲にご注意下さい。「神解答」は言い過ぎかもしれません。 【問題】を正の整数とする。 を満たす空間の点で、がすべて整数であるものの個数をとおく。極限を求めよ。 【ヒ…

【問題】以下の方程式の解の個数を求めよ。 ただし、である。 【ヒント】 とおいて、考えてみよう。 ランキング参加中数学・科学・工学 ランキング参加中数学

【問題】関数とする。ただし、は自然対数の底である。 (1) ならば、であることを示せ。 (2) を正の数とするとき、数列を、によって定める。であれば、であることを示せ。 【ヒント】 問(1) 増減表を書いてみよう 問(2) 場合分けして、中間値の定理を使ってみ…

【問題】1辺の長さが2で、中心の座標が(0, 0)の正方形と、半径がrで中心の座標が(0, 0)の円を考える。円の中で且つ正方形の外の領域の面積をA(r)とし、正方形の中で且つ円の外の領域の面積を、B(r)とする。A(r)+B(r)を表したグラフを示せ。 【ヒント】 場合…

【問題】とし、数列を漸化式によって定める。このとき、以下の問に答えよ。 (1) に対し、とおく。>のとき、>となることを示せ。 (2) を求めよ。 (3) を求めよ。 【ヒント】 問(1) 数学的帰納法を使う。 問(2) のグラフで考える。 問(3) 和が単純な形になる式…

【問題】以下の式を満たすの個数を求めよ。ただし、90°

【問題】AB=AC、BC=2の直角二等辺三角形ABCの各辺に接し、ひとつの軸が辺BCに平行な楕円の面積の最大値を求めよ。 【ヒント】 ① xy座標平面上に直角二等辺三角形と楕円を描く。 ② 直角二等辺三角形と楕円の方程式をたてる。 ③ 方程式を解く。 ④ 最大値を求め…

【問題】この問題では、証明なしに以下の式を用いて良い。 ただし、 (1) を満たす適当なを用いて、以下の式を満たせ。 (2) 以下の不等式を満たす整数を求めよ。ただし、以下の不等式を用いて良い。 (3) を示し、を導け。 (4) を示せ。 (5) とのどちらが大き…

【問題】Oを原点とする複素数平面上で6を表す点をA、7+7iを表す点をBとする。ただし、iは虚数単位である。正の実数tに対し、を表す点pをとる。 (1) 角APBを求めよ。 (2) 線分OPの長さが最大になるtを求めよ。 【ヒント】 問(1) 普通に計算したら求まります。…

【問題】以下の式を示すグラフを答えよ。 【ヒント】 ① 式をsinxのみで表す。 ② u=sinxとおいて、最小値をとるときのuを確認する。 ③ ②となるときのxを確認する。 ④ グラフを考える。 解答はyoutubeを見てね！ ランキング参加中数学・科学・工学 ランキング…

【問題】3以上9999以下の奇数aで、が10000で割り切れるものをすべて求めよ。 【ヒント】 ① aとa-1は互いに素である。 ② 10000を素因数分解してみる。 解答はyoutubeを見てね！ ランキング参加中数学・科学・工学 ランキング参加中数学

【問題】2次方程式の2つの実数解のうち大きいものをα、小さいものをβとする。n=1, 2, 3…に対し、とおく。 (1) を求めよ。また、n≧3に対し、をとで表せ。 (2) 以下の最大の整数を求めよ。 (3) 以下の最大の整数の1の位の数を求めよ。 【ヒント】 問(1) ① は普…

【問題】自然数nに対し、(1がn個並ぶ）を[n]で表す。[3]=111である。 (1) mを0以上の整数とする。[ ]はで割り切れるが、では割り切れないことを示せ。 (2) nが27で割り切れることが、[n]が27で割り切れるための必要十分条件であることを示せ。 【ヒント】 問…

【問題】nを2以上の整数とする。自然数(1以上の整数)のn乗になる数をn乗数と呼ぶことにする。以下の問に答えよ。 (1) 連続する2個の自然数の積はn乗数ではないことを示せ。 (2) 連続するn個の自然数の積はn乗数ではないことを示せ。 【ヒント】 問(1) ① 背理…

【問題】nを1以上の整数とする。 (1) との最大公約数を求めよ。 (2) は整数の2乗にならないことを示せ。 【ヒント】 問(1) ユークリッドの互除法を用いる。 問(2) nが偶数の場合と奇数の場合に分けて、(1)の結果を用いる。 解答はyoutubeを見てね！ ランキン…