マルチーズ先生のやさしい東大数学

おもしろい数学問題を紹介していきます。

【大学数学入試問題】Oxford大学　2021年　整数問題

大学入試問題

【問題】この問題では、証明なしに以下の式を用いて良い。 $\ln\left(1-x\right)=-x-\dfrac{x^{2}}{2}-\dfrac{x^{3}}{3}-\dfrac{x^{4}}{4}-…-\dfrac{x^{n}}{n}…$ 　ただし、 $|x|\displaystyle\lt1$

(1)　 $|x|\displaystyle\lt1$ を満たす適当な $x$ を用いて、以下の式を満たせ。 $\ln2=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2・2^{2}}+\dfrac{1}{3・2^{3}}+\dfrac{1}{4・2^{4}}+\dfrac{1}{5・2^{5}}+…$

(2)　以下の不等式を満たす整数 $k$ を求めよ。 $\dfrac{k}{24}\displaystyle\lt\ln2\lt\dfrac{k+1}{24}$ ただし、以下の不等式を用いて良い。 $\dfrac{1}{n2^{n}}\lt\dfrac{1}{3・2^{n}}$ 　 $\left(n\geq4\right)$

(3)　 $\ln\displaystyle\left(\dfrac{3}{2}\right)=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2・2^{2}}+\dfrac{1}{3・2^{3}}-\dfrac{1}{4・2^{4}}+\dfrac{1}{5・2^{5}}-…$ を示し、 $\ln3=\dfrac{1}{3・2^{2}}+\dfrac{1}{5・2^{4}}+\dfrac{1}{7・2^{6}}+…$ を導け。

(4)　 $\dfrac{13}{12}\lt\ln3\lt\dfrac{11}{10}$ を示せ。

(5)　 $3^{17}$ と $4^{13}$ のどちらが大きいか示せ。

【ヒント】

問(1)　普通に計算しましょう。

問(2)　普通に計算しましょう。

問(3)　普通に計算しましょう。

問(4)　問(2)の方法を参考にしましょう。

問(5)　これまでの結果を用いて考えましょう。

解答はyoutubeを見てね！

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