マルチーズ先生のやさしい東大数学

おもしろい数学問題を紹介していきます。

【大学数学入試問題】東京大学　2006年　極限

大学入試問題

【問題】 $a_{1}=\dfrac{1}{2}$ とし、数列 ${a_{n}}$ を漸化式 $a_{n+1}=\dfrac{a_{n}}{\left(1+a_{n}\right)^{2}}$ $(n=1, 2, 3…)$ によって定める。このとき、以下の問に答えよ。

(1)　 $n=1, 2, 3, …$ に対し、 $b_{n}=\dfrac{1}{a_{n}}$ とおく。 $n$ > $1$ のとき、 $b_{n}$ > $2n$ となることを示せ。

(2)　 $\displaystyle\lim_{n→∞}\dfrac{1}{n}\left(a_{1}+a_{2}+…+a_{n}\right)$ を求めよ。

(3)　 $\displaystyle\lim_{n→∞}na_{n}$ を求めよ。

【ヒント】

問(1)　数学的帰納法を使う。

問(2)　 $y=\dfrac{1}{x}$ のグラフで考える。

問(3)　和が単純な形になる式変形がポイント。

解答はyoutubeを見てね！

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