マルチーズ先生のやさしい東大数学

おもしろい数学問題を紹介していきます。

必ず解ける!中途半端な勉強を変えるためにやるべきこと

【問題】関数f(x)=\dfrac{1}{2}x\{1+e^{-2(x-1)}\}とする。ただし、e自然対数の底である。

(1) x>\dfrac{1}{2}ならば、0≦f'(x)<\dfrac{1}{2}であることを示せ。
(2) x_{0}を正の数とするとき、数列\{x_{n}\}(n=0, 1, …)を、x_{n+1}=f(x_{n})によって定める。x_{0}>\dfrac{1}{2}であれば、\displaystyle\lim_{n\to\infty}x_{n}=1であることを示せ。

【ヒント】

問(1) 増減表を書いてみよう

問(2) 場合分けして、中間値の定理を使ってみよう。

 

解答はyoutubeを見てね!