マルチーズ先生のやさしい東大数学

おもしろい数学問題を紹介していきます。

【囚人生存ゲーム】釈放を勝ち取ってください

こんにちは！マルチーズ先生です。とても難しい論理パズルだと思います。こんなに頭の良い囚人がいるのかどうか。。。

【問題】

・囚人同士は、ゲーム開始前に戦略を相談し、協力しあうことができる。

・青色、赤色、緑色の帽子が、それぞれ[etx:3]つある。

・ゲーム開始時、看守は囚人に分からないように帽子をかぶせる。

・ゲーム開始後、囚人同士は一切コミュニケーションできない。

・囚人は自分の帽子は見えないが他人の帽子は見える。

・ $3$ 人のうち、 $1$ 人でも自分の帽子の色を正解すれば全員釈放される。

・ $3$ 人とも不正解の場合、全員処刑される。

必ず囚人が釈放される戦略を見出せ。

【ヒント】

$2$ 人の場合の戦略を考え、それを、数式で表してみましょう。

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【九州大学2008年】シグモイド関数の問題

大学入試問題

こんにちは！マルチーズ先生です。基本的な学力があれば必ず解けます。

【問題】 $f\left(x\right)=\dfrac{e^{x}}{e^{x}+1}$ とおく。ただし、 $e$ は自然対数の底とする。このとき、次の問に答えよ。

$\left(1\right)$ 　 $f\left(x\right)$ の増減、凹凸、漸近線を調べ、グラフをかけ。

$\left(2\right)$ 　 $f\left(x\right)$ の逆関数 $f^{-1}\left(x\right)$ を求めよ。

$\left(3\right)$ 　 $\displaystyle\lim_{n→∞}n\{f^{-1}\left(\dfrac{1}{n+2}\right)-f^{-1}\left(\dfrac{1}{n+1}\right)\}$ を求めよ。

【ヒント】

基礎学力があればヒント無しで解けます。

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見た目は難しそうだがメッチャ簡単な積分

積分道場

こんにちは！マルチーズ先生です。簡単です！

【問題】以下の定積分を計算せよ。　 $\displaystyle\int_{\ln{\ln{2}}}^{\ln{\ln{3}}}e^{e^{x}}e^{x}dx$

【ヒント】

簡単なのでヒント無しです。

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アステロイド曲線の面積

おもしろ数学問題

こんにちは！マルチーズ先生です。興味深い問題だと思いますよ！

【問題】長さ $1$ の線分 $AB$ がある。点 $A$ が $y$ 軸上 $\left(y≧0\right)$ 、点 $B$ が $x$ 軸上 $\left(x≧0\right)$ を動くとき、線分 $AB$ が通過する領域の面積を求めよ。

【ヒント】

極座標表示にしてみてください。

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工夫しないとトンデモナイことになる問題

おもしろ数学問題

こんにちは！マルチーズ先生です。工夫しないと大変です！

【問題】以下の等式が成り立つとき $\dfrac{1}{x+yz}+\dfrac{1}{y+zx}+\dfrac{1}{z+xy}$ の値を求めよ。　 $x+y+z=1$ 　 $xy+yz+zx=3$ 　 $xyz=5$

【ヒント】

変数の数を減らすような変形を考えてみましょう。

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指数に複素積分がある問題

積分道場

こんにちは！マルチーズ先生です。高校生にも、留数定理の解法を見てもらいたいです。

【問題】以下の式を計算せよ。　 $e^{\displaystyle\int_{C}^{}\dfrac{z^{2}}{z-i}dz}$ 　ただし、積分経路は複素数平面において中心が $i$ 、半径が $1$ の円周を $1$ 回転するものとする。

【ヒント】

留数定理を使っても、使わなくても解けます。

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【ちょうど良い答え】ハートの面積を求めてください

おもしろ数学問題

こんにちは！マルチーズ先生です。ちょっと遅いバレンタインデーの問題として、ハートの面積を出題しました。ちょうど良い答えになります！

【問題】以下の不等式を満たす領域の面積を求めよ。　 $x^{2}+\left(y-\sqrt[3]{x^{2}}\right)^{2}≦1$

【ヒント】

ちょうど良い答えになります！

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